如何求解一般情况下的麦克斯韦方程组？将电磁场表示为电磁势有何意义？9月4日12时，《张朝阳的物理课》第八十二期开播，搜狐创始人、董事局主席兼CEO张朝阳坐镇搜狐视频直播间，先带着网友讨论将电磁场表示为电磁势的意义，并利用简易的解方程技巧以及散度定理求解出静电荷产生的静电势。随后开始讨论一般情况，在洛伦兹规范下将麦克斯韦方程组用电磁势表示出来，发现电势与磁矢势满足的方程的形式相同，通过类似静电势的求解方法解出电磁势关于电荷电流密度的表达式。
求解静态情况下的电势
课程一开始，张朝阳先讲解电磁势在理论架构中的作用。如下图所示，第一层楼是电势与磁矢势，第二层楼是电磁场，是由第一层楼进行时空偏导得到，而第三层楼的物理量则是第二层楼的进行时空偏导得到。第二楼的电磁场是实际的可观测量，第三楼对应的是更具体综合的物理量，例如电场的散度、磁场的旋度等等。而第一楼的电磁势虽然目前没有物理意义（之后更高级的理论会有物理意义），但一层楼的物理量不仅数量少，而且它们还可以导出二楼与三楼的物理量，除此之外由它们来构建理论体系还具有很多优势。
张朝阳讲解电磁势在理论架构中的作用
关于电磁场的麦克斯韦方程组是在二楼和三楼的层面上写出来的，若将麦克斯韦方程组在一楼层面写出，会发现它具有更加优美简洁的形式并更加容易求解，甚至还能看出电磁理论关于坐标系变换的协变性。所以有必要研究麦克斯韦方程组在一楼的表达，最简单的理解方法是先从静态麦克斯韦方程组出发，熟悉了一些物理量之间的联系之后再进一步研究动态的麦克斯韦方程组。
上节课中张朝阳已经求解出静态的磁矢势A关于电流密度j的表达式，这节课来讨论电势φ关于电荷密度ρ的表达式。静态情况下，电场的旋度为零，于是电场可以写成某个标量势的散度：
并由麦克斯韦方程组中关于电场散度的方程，可得静电势满足的方程为：
在解一般情况下的电荷分布之前，先来解一个特殊但简单的情况，即电荷q集中在r=0处的情况，对应的电荷密度写为：
其中的δ函数是在r≠0处为零、而在r=0处为无穷大的一个特殊函数，并且满足全空间体积分为1的性质：
这样所要求解的电势方程为：
先看r≠0的情况，上述方程可以化简成如下形式：
另外，因为电荷分布是关于原点球对称分布的，所以电势φ(x,y,z)也可设为球对称的，即电势可写为φ(r)，由于电势与球坐标系的θ和φ都无关，所以上式在球坐标系下可写成：
这个方程的求解在量子力学求解三维哈密顿量的时候就遇到过，使用与之类似的方法，定义一个新的场ψ为：
那么电势φ所满足的方程可用新的场ψ进一步简写为：
用简单的积分知识即可解得这个方程的解为：
其中a与b是与r无关的常数。 上述解得的场ψ对应的电势为：
若要求无穷远处电势为零，那么可得常数项b=0，电势化简为：
现在只剩下a的值待进一步确定，为此选择一个半径为R的球体，对▽^2φ进行体积分，由散度定理可以得到积分结果：
注意到▽^2φ正是电势所满足的方程的左边项，于是根据电势方程与δ函数的性质可以求得常数a与电荷q的关系：
两边同数以-4π具体将a的表达式写出来为：
将a的表达式代回上述得到的电势的表达式，最终得到位于原点r=0处的电荷q产生的电势：
根据电势与电场的关系，可求得对应的电场为：
这就是传统的库伦定律，对于连续分布的电荷，只需要利用叠加原理对电荷密度进行积分即可，之前的课程已经多次做过同样操作并给出结果，这里就不再赘述。
用电磁势表达麦克斯韦方程组
讨论完静态情况，接下来就要讨论最一般的情况了，或许有人会说，直接将静态情况的解中的电荷电流密度换成时间依赖的电荷电流不就好了吗？ 实际上没那么简单，得重新求解一般情况下的麦克斯韦方程组才能得到正确的结果，前面说过麦克斯韦方程组在“一层楼”的表达将具有更加简洁对称并易解的形式，那现在就来推导用电磁势表达的麦克斯韦方程组。
首先，麦克斯韦方程组中关于磁场散度的方程不管在动态还是静态情况下都是：
由亥姆霍兹定理可知，磁场即使在动态情况下仍然可写成某个矢量场的旋度：
这个矢量场A就是一般情况下的磁矢势。 那么麦克斯韦方程组中关于电场旋度的方程可以写成如下形式：
这说明E+∂A/∂t是一个无旋场，之前也证明过无旋场可以写成某个标量场φ的散度：
这个标量场φ就是一般情况下的电势。那么电场E可以用电势φ与磁矢势A表示成：
到此，磁感应强度B与电场E都用电势与磁矢势表示出来了，这种表示使得它们自动满足了原麦克斯韦方程组中关于磁场散度与关于电场旋度的两个方程，接下来继续讨论剩下的两个麦克斯韦方程怎么用电磁势表示出来。
首先来看关于磁场旋度的方程：
将磁场与电场关于电磁势的表达式代入上述方程，并进行简单的矢量分析运算可以得到电磁势满足的方程：
移项并整理上述方程，可以得到更加紧凑的形式：
注意到最左边的两项非常类似熟悉的波动方程，时间空间坐标每个都进行了两次求导，非常对称，并且不包含电势φ，于是设第三项与第四项可以为零使得上述方程能进一步化简。上节课也说明了电磁势的选择还有任意性，我们可以要求电势与磁矢势额外满足如下约束方程：
这种约束称为洛伦兹规范，之后会发现这个约束的形式在坐标系变换下是不变的，即具有洛伦兹协变性。在洛伦兹规范下，麦克斯韦方程组中关于磁场旋度的方程用磁矢势表示出来为：
现在就剩下最后一个麦克斯韦方程了：
同样，将电场关于电磁势的表达式代入上式可以得到：
又根据洛伦兹规范，可以将其中关于磁矢势A的散度▽·A用电势的时间偏导∂φ/∂t来替换，得到只含电势的方程：
至此已将麦克斯韦方程用电势与磁矢势表示出来，并且在洛伦兹规范下，电势和磁矢势不仅不耦合，将磁矢势写成分量的形式还会发现四个方程（三个磁矢势分量+电势）具有相同的形式，体现出高度对称性，这也说明只需求出其中一个方程的解，根据其形式马上就能类比得出其它方程的解。
张朝阳推导出洛伦兹规范下电磁势表达的麦克斯韦方程组
求解电磁势表达的麦克斯韦方程组
跟最开始求解静态电荷产生的电势一样，这里也先考虑一个固定在原点r=0处的点电荷情况，但与静态情况不同，这时候的电荷量q会随时间而变q(t)，于是对应的电荷密度为：
那么关于电势的方程可以写为：
由于电荷密度是球对称的，可设电势也是球对称的，在r≠0区域，由δ函数的性质可知最右边为零，用球坐标系改写上述方程为：
利用求解静电势同样的方法，定义新的场ψ为：
那么可以将方程化简为波动方程的形式：
该波动方程的一般性解为：
其中f(t+r/c)代表从原点向外传播的解，g(t+r/c)代表从远处向原点传播的解，这里只考虑由处在原点的电荷产生的电磁波，所以接下来只保留从原点向外传播的解f(t+r/c)。
再根据电势与新变量ψ的关系可得电势具有如下形式的解：
张朝阳利用解方程技巧求解电势方程
为了进一步确定函数f的形式，需要考虑r≠0的区域，即原点附近的场方程的性质。在r趋于0时，r/c也趋于0，那么若函数f足够平滑那么电势可写成：
这就跟静态情况非常类似，这启示可以用先前求解静态电势的方法推导出函数f的形式。所以这里也采用求解静态电势同样的方法，对▽^2φ进行一个球心在原点半径R球体的体积分，并要求R极小，由散度定理可以得到积分结果：
其中最后一行用到了R极小以及f函数足够光滑的条件。这个结果与静态情况非常相似。而根据电势满足的方程可知，对▽^2φ进行积分还等于：
由于我们要求球体半径R极小，所以上式中最后一行的第一项（来源于电势的时间二次偏导）也是趋于零的：
只留下了q(t)项，最终我们用处理静态电势的同样方法得到了类似静态电势的结果：
由于上式在任何时刻都相等，这显示了函数f(x)与函数q(x)的关系为：
这里值得一提的是，上述的一系列推理步骤可以完全与静态方法一样，在R是有限大的情况下进行并导出一模一样的结果，并不需要R趋于0，因为上面的每个积分由于球对称性都可以计算出来。具体如下：
其中第二个公式推导用到了分部积分法。联立上述两个公式也可以得到f函数与q的关系。
既然知道了函数f的具体形式，那么代回之前求得的电势的表达式可得：
这就是一个位于原点r=0处并以q(t)改变电量的点电荷产生随时间变化的电势。根据麦克斯韦方程组的空间平移不变性，若电荷不在原点处，而是在r2处，可直接将上述电势的解平移r2而得到。具体来讲，考察r1处的电势表达式为：
其中r12是r1与r2的距离：
由于电势满足的方程是线性方程，所以电势具有叠加原理，对于一个电荷分布ρ(r2,t)每一个体积微元dV相当于一个具有电荷q(r2,t)=ρ(r2,t)dV的点电荷，将这些点电荷求和后即可得到整个电荷分布ρ(r2,t)产生的电势：
前面也提到，电势满足的方程与磁矢势分量满足的方程形式一样，可以通过类比电势的解得到磁矢势关于电流密度的表达式。先具体观察一下磁矢势第i分量的方程：
对照电势满足的方程，可以发现，若将电势φ替换成磁矢势分量Ai、将电荷密度ρ替换成电流密度j的i分量、将真空介电常数ϵ0替换成真空磁导率1/μ0，那么电势方程将会变成磁矢势分量Ai满足的方程。与此对应的是，将上述替换应用在电势的解上，即可得到磁矢势分量Ai的解：
若用矢量的方法重写上式则为：
这就是磁矢势关于电流密度的表达式。至此，在电磁势的层面（第一楼）将麦克斯韦方程组解出，而对于电场和磁场（第二楼）的求解，只需要将电磁势的表达式代入电磁场与电磁势的关系式中即可。
可以看到动态情况与静态情况虽然有相似的形式，但仍有重要区别。在只知道静态解的情况下猜测动态解的形式，最简单的想法是直接将静态解中的电荷电流密度直接加上t的依赖，但注意这节课得出的电磁势的表达式里的电荷电流密度中出现的却是t-r/c的依赖关系，这说明电磁作用不是瞬时的，改变某一点的电荷或电流密度所造成的影响会以光速传递出去。早年研究电磁学的物理学家错误地认为电磁作用是瞬时的，是因为日常生活中的速度都远低于光速，相当于光速近乎于无穷大速度，这样t-r/c≈t，显示不出推迟效应。
张朝阳求解出一般情况麦克斯韦方程组的解
实际上，关于电磁势层面的麦克斯韦方程组以及电磁势的解，都还有非常深刻物理内涵与广泛的应用，之后将对此做更进一步的讲解，展现出从第二层楼（直接观察量）下楼到更深的第一层楼的价值。
据了解，《张朝阳的物理课》于每周周五、周日中午12时在搜狐视频直播，网友可以在搜狐视频“关注流”中搜索“张朝阳”，观看直播及往期完整视频回放；关注“张朝阳的物理课”账号，查看课程中的“知识点”短视频。此外，还可以在搜狐新闻APP的“搜狐科技”账号上，阅览每期物理课程的详细文章。
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